等比数列求和公式推导(如何推导等比数列求和公式？)

等比数列是每项与它前一项的比相等的数列。在学习等比数列时，了解如何推导等比数列求和公式是非常重要的。本文将会详细地介绍如何推导等比数列求和公式。

假设等比数列的前 n 项和为 S_n，首项为 a_1，公比为 q。则有：

S_n = a_1 a_1q a_1q^2 ... a_1q^{n-2} a_1q^{n-1}

通过将该公式与 q 相乘，得到：

qS_n = a_1q a_1q^2 a_1q^3 ... a_1q^{n-1} a_1q^{n}

将这两个式子相减，得到：

S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n

移项可得到：

S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}

因此，等比数列前 n 项和的求和公式为：

S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}

现在，你已经了解如何推导等比数列求和公式了。现在，你可以在计算等比数列时应用这个公式，通过几个简单的步骤就可以得到这个公式。

等比数列求和公式推导详解

等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项与同一常比q的乘积。

首项为a，公比为q的n项等比数列的和是：

S_n = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

其中，S_n为等比数列的前n项的和。

公式推导

根据等比数列的性质，有：

a₂ = a₁ * q, a₃ = a₂ * q = a₁ * q², ..., a_n = a₁ * q^n-1

将等比数列的前n项公式展开可得：

S_n = a₁ a₁ * q a₁ * q² ... a₁ * q^n-1

将等比数列的首项a₁提取公因子，得：

S_n = a₁ * (1 q q² ... q^n-1)

等比数列的前n项和S_n乘以公比q得到：

q * S_n = a₁ * (q q² ... qⁿ)

上述两式相减，得到：

S_n - q * S_n = a₁ - a₁ * qⁿ

化简得到等比数列的前n项和公式：

S_n = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

【详细推导】等比数列求和公式的推导

等比数列求和公式

等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值相等，比值我们称为公比，用 q 表示。例如，2, 4, 8, 16 是一个公比为 2 的等比数列。

我们假设有一个公比为 q 的等比数列，首项为 a₁，共有 n 项。则该等比数列的前 n 项和 Sn 的求和公式为：

Sn = a₁ * (qⁿ - 1)/(q - 1)

推导过程

首先，我们将等比数列的前 n 项和 Sn 写成下面的形式：

Sn = a₁ a₂ a₃ ... a_n-1 a_n

同乘公比 q，我们得到：

q * Sn = a₁ * q a₂ * q² a₃ * q³ ... a_n-1 * q^n-1 a_n * qⁿ

两式相减，得到：

Sn - q * Sn = a₁ (a₂ * q - a₁ * q) (a₃ * q² - a₂ * q²) ... (a_n-1 * q^n-2 - a_n-2 * q^n-2) (a_n * q^n-1 - a_n-1 * q^n-1)

因为等比数列中每一项与前一项的比值相等，所以可以得到：

Sn - q * Sn = a₁ - a_n * qⁿ

移项，得到：

Sn = a₁ * (qⁿ - 1)/(q - 1)

例子

例如，有一个公比为 2 的等比数列，首项为 1，共有 5 项。则该等比数列的前 5 项和 Sn 的求和公式为：

Sn = 1 * (2⁵ - 1)/(2 - 1) = 31

应用

等比数列是一种重要的数学工具，在金融、物理、经济等领域有着广泛的应用。等比数列求和公式的推导，为我们提供了一种快速求解等比数列前 n 项和的方法。在实际问题中，如果遇到等比数列求和的问题，我们可以利用该公式来解决。